[优化] Gauss-Newton非线性最小二乘算法

非线性最小二乘问题在诸多领域，如SLAM算法、位姿图优化中广泛应用。高斯-牛顿法作为一种高效求解方法，简化问题以逼近最优解。

非线性最小二乘问题标准形式为：求解使误差函数最小的参数集，该误差函数表达式为：

[公式]

高斯-牛顿法的核心思想是通过泰勒展开并取一阶近似，简化原始问题，得到线性问题求解。具体步骤为：

对原始问题进行泰勒展开，取一阶近似后，得到的简化形式为：

[公式]

代入简化问题求解，得到调整增量：

[公式]

要求解增量，需保证雅克比矩阵可逆且为正定，但实际应用中可能遇到不满足条件的情况，如发散或步长过大致使发散。因此，高斯-牛顿法在应用中需注意控制迭代过程。

高斯-牛顿法迭代步骤包括：

• 初始化参数


• 计算雅克比矩阵与误差函数


• 求解增量以更新参数


• 判断迭代条件是否满足，若满足则停止迭代，否则继续

编程实现阶段，以非线性方程为例，给定n组观测数据，构建误差函数，通过求解雅克比矩阵和目标函数，应用高斯-牛顿法步骤进行迭代求解。

代码实现中，首先定义非线性方程和观测数据，构建误差函数。接着，根据高斯-牛顿法步骤，计算雅克比矩阵，求解增量更新参数，并设定迭代终止条件。在迭代过程中，不断优化参数，直到满足预设条件，完成最小二乘问题求解。

整体而言，高斯-牛顿法通过简化非线性问题，实现高效参数优化，广泛应用于各类最小二乘问题求解中。通过合理调整迭代参数与控制策略，可有效提升算法性能与稳定性。