算法学习——积性函数
学习积性函数的原因在于优化算法性能，减少重复计算。在数学问题中，积性函数频繁出现，了解其性质和应用，可以利用预处理和狄利克雷卷积、莫比乌斯反演等高级数论技巧，提高解题效率。
积性函数定义为对于任意两个互质的正整数x和y，有f(xy)=f(x)f(y)。完全积性函数则对任意两个正整数x和y都有f(xy)=f(x)f(y)。若f(x)、g(x)均为积性函数，则h(x)=f(x)g(x)也是积性函数。
单位函数一般表示为ε(x)，对于x=1时ε(x)=1，其它情况ε(x)=0。非1正整数的积性函数可以通过质因数分解表达，利用线性筛算法求解。
定义p[i]为i的最小质因子，pr[cnt]为第cnt个质数。通过线性筛，我们可以求出n以内的任意正整数的积性函数值。
因子个数函数可以求解质数时为1，对于合数利用线性筛和积性函数定义来计算。
欧拉函数φ(n)计算的是小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。通过分析最小质因子的改变，我们可以将求欧拉函数的过程稍作修改，利用已有的线性筛代码实现。
总结，学习积性函数能够高效解决数学问题中的函数计算，利用性质与算法优化解题过程。线性筛是求解这类问题的重要手段，通过定义初始值与最小质因子处理，可以轻松解决大部分积性函数问题。
例题链接：atcoder.jp/contests/abc...
题意描述：给定一个数n，计算其因子个数k的特定积性函数值。
解题思路：首先使用线性筛法计算因子个数，随后通过乘法操作与前缀和维护求解答案，时间复杂度优化到O(n)。
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单位函数一般表示为ε(x)，对于x=1时ε(x)=1，其它情况ε(x)=0。非1正整数的积性函数可以通过质因数分解表达，利用线性筛算法求解。
定义p[i]为i的最小质因子，pr[cnt]为第cnt个质数。通过线性筛，我们可以求出n以内的任意正整数的积性函数值。
因子个数函数可以求解质数时为1，对于合数利用线性筛和积性函数定义来计算。
欧拉函数φ(n)计算的是小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。通过分析最小质因子的改变，我们可以将求欧拉函数的过程稍作修改，利用已有的线性筛代码实现。
总结，学习积性函数能够高效解决数学问题中的函数计算，利用性质与算法优化解题过程。线性筛是求解这类问题的重要手段，通过定义初始值与最小质因子处理，可以轻松解决大部分积性函数问题。
例题链接：atcoder.jp/contests/abc...
题意描述：给定一个数n，计算其因子个数k的特定积性函数值。
解题思路：首先使用线性筛法计算因子个数，随后通过乘法操作与前缀和维护求解答案，时间复杂度优化到O(n)。